Über den Autor 9

Danksagung 9

Einleitung 23

Ein leicht verständlicher Einstieg in die höhere Mathematik anhand vieler Beispiele 23

Überall praktische Beispiele 23

Törichte Annahmen über den Leser 24

Konventionen in diesem Buch 24

Wie dieses Buch strukturiert ist 25

Teil I: Zahlen und Rechenoperationen 25

Teil II: Keine Angst vor Gleichungen, Vektoren und Matrizen 25

Teil III: Funktionen, Folgen und Reihen 26

Teil IV: Keine Angst vor Geometrie 26

Teil V: Differentiation und Integralrechnung für eine Variable 26

Teil VI: Differentiation und Differentialgleichungen für zwei Variablen 26

Teil VII: Der Top-Ten-Teil 27

Die Symbole in diesem Buch 27

Den modularen Aufbau für sich nutzen 28

Teil I Zahlen Und Rechenoperationen 29

Kapitel 1 Zahlen und Grundrechenarten 31

Mathematik und ihre natürlichen Zahlen 31

Eigenschaften der Grundrechenarten 33

Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen 34

Aufgaben mit Klammern richtig lösen 37

Aus ganz wird rational - Bruchrechnung mal anders 38

Rationale Zahlen und ihre Dezimalbrüche 41

Und plötzlich wird's irrational ... und real! 43

Keine Angst vor dem Rechnen mit Variablen 45

Das Summenzeichen 46

Kapitel 2 Rechnen mit Polynomen, Potenzen und Logarithmen 47

Alles über Mengen 47

Mengen im Supermarkt? 47

Alles, nichts, oder? - Spezielle Mengen 49

Von Zahlen, Mengen und Intervallen 50

Mit Mengen einfach rechnen können 51

Das Leben mit Teilmengen 51

Mengengleichheit 51

Durchschnitt und Vereinigung von Mengen 52

Mengendifferenz und Komplementbildung 52

Potenzmenge einer Menge 53

Kreuzprodukt von Mengen 54

Venn-Diagramme 55

Prozentrechnung für den Alltag 57

Nur zwei Prozent Mieterhöhung 57

Das eigene Heim trotz Provision? 57

Die Bären kommen - Sinkende Aktienkurse 58

Bullen im Vormarsch - Steigende Kurse 58

Wie viele Bullen hätten die Bären gezähmt? 58

Immer auf die genaue Formulierung achten 59

Preissenkungsschnäppchen mitnehmen 59

Zinsrechnung zum Verstehen 59

Lohnender Zinsertrag 60

Höhe des Zinssatzes für Ihre Träume 60

Suche nach dem Startkapital 60

Taggenaue Zinsen 61

Kapitalwachstum: Zinseszins 61

Eine feste Anlage für zehn Jahre 61

Das sich verdoppelnde Kapital bei festem Zins 62

Das sich verdoppelnde Kapital bei fester Jahresanzahl 62

Keine Angst vor Wurzeln und Potenzen 63

Kapitel 3 Logische Grundlagen und Beweismethoden 65

Logische Grundlagen 65

Wahre und falsche Aussagen 65

Aussagen verknüpfen 66

Die Mathematik als Sprache erkennen 68

Terme als die Worte im mathematischen Satz 68

Formeln sind die Sätze der mathematischen Sprache 68

Mit Quantoren neue Formeln bilden 69

Notwendige und hinreichende Bedingungen 71

Die Unendlichkeit - unzählige Welten? 73

Mit abzählbaren Mengen zählen lernen 73

Jenseits der Zählbarkeit - überabzählbare Mengen 76

Grundlegende Beweistechniken in der Mathematik 77

Methode 1: Direkter Beweis 77

Methode 2: Indirekter Beweis 78

Methode 3: Beweis durch Fallunterscheidung 79

Methode 4: Beweis durch vollständige Induktion 80

Kapitel 4 Grundlagen von Gleichungen und Ungleichungen 85

Gleichungen in Angriff nehmen 85

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten 85

Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 87

Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 88

Ungleichungen in den Griff bekommen 90

Lineare Ungleichungen im Griff haben 90

Quadratische Ungleichungen zähmen 90

Echte Ungleichungen akzeptieren 91

Beträge ins Spiel bringen 91

Teil II Keine Angst Vor Gleichungen, Vektoren Und Matrizen 95

Kapitel 5 Nicht reell aber real - die komplexen Zahlen 97

Was komplexe Zahlen wirklich sind 97

Komplexe Rechenoperationen 99

Die komplexe Addition 99

Die komplexe Multiplikation 99

Die Konjugierte einer komplexen Zahl 100

Die komplexe Division 100

Zusammenhänge zwischen den komplexen Operationen 101

Komplexe quadratische Gleichungen 102

Darstellung komplexer Zahlen als Paare reeller Zahlen 103

Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten 104

Der Betrag einer komplexen Zahl 104

Einmal Polarkoordinaten und zurück 105

Umwandlung in Polarkoordinaten aus Koordinaten 106

Umwandlung in Koordinaten aus Polarkoordinaten 106

Komplexe Potenzen und Wurzeln 107

Anwendungen komplexer Zahlen 109

Kapitel 6 Die Grundlagen: Allgemeine Vektorräume und lineare Gleichungssysteme 113

Vektoren erleben 113

Vektoren veranschaulichen 115

Mit Vektoren anschaulich rechnen 116

Mit Vektoren rechnen 117

Betrag eines Vektors berechnen 120

Das Skalarprodukt von Vektoren berechnen 121

Schöne VektorraumTeilmengen: Untervektorräume bestimmen 124

Vektoren und ihre Koordinaten bestimmen 126

Arten von Linearen Gleichungssystemen 129

Homogene Gleichungssysteme 130

Inhomogene Gleichungssysteme 130

Überbestimmte Gleichungssysteme 131

Unterbestimmte Gleichungssysteme 132

Quadratische Gleichungssysteme 132

Nicht lösbare Gleichungssysteme 133

Graphische Lösungsansätze für LGS 134

Kapitel 7 Vektoren im dreidimensionalen Raum: Punkte, Geraden und Ebenen 135

Punkte, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum 135

Punkte im Raum 136

Parametergleichung für Geraden 136

Zweipunktegleichung für Geraden 138

Parametergleichung für Ebenen 139

Dreipunktegteichung für Ebenen 140

Koordinatengteichung für Ebenen 141

Umrechnungen der einzelnen Ebenengleichungen 141

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 143

Kollision Während einer Flugshow in Las Vegas? 150

Kapitel 8 Überleben in der Welt der Matrizen 155

Was Matrizen eigentlich sind 156

Addition von Matrizen 157

Skalarmultiplikation von Matrizen 157

Multiplikation von Matrizen 157

Matrizen in Produktionsprozessen 158

Transponierte und symmetrische Matrizen 160

Keine Angst vor inversen Matrizen 160

Matrizen und lineare Gleichungssysteme 161

Das Lösungsverfahren: Der Gaußsche Algorithmus 162

Der Rang von Matrizen 167

Matrizen invertieren in der Praxis 168

Kriterien für die Lösbarkeit von homogenen Gleichungssystemen 169

Kriterien für die Lösbarkeit von inhomogenen Gleichungssystemen 170

Matrizen und lineare Abbildungen 171

Lineare Abbildungen an Beispielen 171

Matrizen als lineare Abbildungen 172

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte - in der Theorie 172

Bilder und Kerne, Ränge und Defekte - in der Praxis 173

Lineare Abbildungen durch Matrizen darstellen 176

Matrizen und ihre Determinanten 177

Determinanten von (2 × 2) -Matrizen 177

Determinanten von (3 × 3) -Matrizen 177

Determinanten von allgemeinen Matrizen 178

Determinanten, Matrizen & lineare Gleichungssysteme 181

Die Cramersche Regel 181

Die Inversen mittels der Adjunktenformel berechnen 184

Flächen und Volumina mittels Determinanten berechnen 185

Kreuzprodukt von Vektoren 186

Praktische Anwendung: Spiegelungen und Drehungen in der Ebene 188

Drehungen in der Ebene 188

Berechnung des Drehwinkels in der Ebene 190

Spiegelungen in der Ebene 190

Berechnung der Spiegelachse in der Ebene 192

Teil III Funktionen, Folgen Und Reihen 195

Kapitel 9 Was Funktionen sind! 197

Was Funktionen eigentlich sind 197

Graphische Darstellung von Funktionen 199

Polynome einfach verstehen 200

Bruchrechnung: Rationale Funktionen 204

Keine Angst vor der Potgnomdivision 205

Rasch Wachsende Exponentialfunktionen 206

Umgekehrt betrachtet: Logarithmusfunktionen 208

Von Umkehr- und inversen Funktionen 209

Trigonometrische Funktionen 210

Trigonometrische Funktionen zeichnen 211

Identifikation (von und) mit trigonometrischen Identitäten 212

Trigonometrische Kehrwert- und Umkehrfunktionen 212

Kapitel 10 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 217

Grenzwerte einer Funktion verstehen 217

Drei Funktionen erklären den Grenzwertbegriff 218

Links- und rechtsseitige Grenzwerte 218

Die formale Definition eines Grenzwertes - wie erwartet! 219

Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 220

Grenzwerte für x gegen unendlich 220

Stetigkeit von Funktionen 221

Einfache Grenzwerte auswerten 224

Einfachste Methode: Einsetzen und Auswerten 224

Echte Aufgabenstellungen mit Grenzwerten 225

Methode 1: Faktorisieren 225

Methode 2: Konjugierte Multiplikation 226

Methode 3: Einfache algebraische Umformungen 226

Methode 4: Das Grenzwert-Sandwich 227

Grenzwerte bei unendlich auswerten 229

Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 230

Algebraische Tricks für Grenzwerte bei unendlich verwenden 230

Kapitel 11 Von Folgen und Reihen 233

Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 233

Folgen aneinanderreihen 234

Konvergenz und Divergenz von Folgen 235

Grenzwerte mithilfe der Regel von l'Hospital bestimmen 236

Reihen...